Consigne: Décrire le programme de construction de la médiatrice d'un segment \([AB]\) avec \(A\ne B\)

On note \((BC)\) la médiatrice
$$\mathcal C(A,B)\cap\mathcal C(B,A)=\{C,D\}$$

Consigne: Soit \(\triangle ABC\) un triangle non dégénéré
Montrer que les trois médiatrices du triangle sont concourantes. Montrer que leur point commun est centre du cercle circonscrit au triangle \(\triangle ABC\)

Caractérisation par les longueurs : montrer que \(\gamma\) coupe \(\alpha\) et \(\beta\) au point où ils se coupent
Soient \(\alpha,\beta,\gamma\) les médiatrices
\(\alpha\) et \(\beta\) sont orthogonales à des sécantes, donc elles se coupend en un point \(O\)
$$\begin{align} O\in\alpha&\quad\text{ donc }\quad OB=OC\\ O\in\beta&\quad\text{ donc }\quad OC=OA\end{align}$$
Donc \(OA=OB\) \(\Rightarrow\) \(O\in\gamma\)

\(A,B,C\) sont dans le cercle
Si \(R=OA=OB=OC\), alors \(\{A,B,C\}\in\mathscr C(O,R)\)

Les médianes contiennent le barycentre de \(A,B,C\)

La médiane en \(A\) relie \(A\) au milieu \([BC]\)
Donc elle contient \(\frac A3+\frac23\frac{B+C}2=\frac{A+B+C}3\)
Et de même pour les deux autres médianes